Bibliografia

http://whttp://www.macdaily.co/finder/?rt=Integral+de+una+suma
ww.math2me.com/playlist/calculo-integral/integral-de-la-suma-o-resta-de-funciones
http://filter.bravetraffic.com/filterq=Matem%EF%BF%BDticas+II&i=RiNOpGlsgjg_0&t=1189918155
http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/cramer.html
"Libro :Matemáticas para adimintradores "
https://www.youtube.com/watch?v=91xUg1L7O7s

Aplicaciones : Sistema de ecuaciones lineales y matrices

Continuación se mostrara como debe de resolverse usando los diferentes tipos de matrices y como te pueden ayudar  y la verdad si me sirvió de mucho .

Regla de cramer

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:

•  El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas
• El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer

.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes

.

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

:

Δ₁, Δ₂ , Δ₃, ... , Δ_n son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente

.

...

Propiedades de los determinantes

Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.

En los párrafos siguientes consideramos que  A  es una matriz cuadrada.

Propiedad 1.

Si una matriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.

Ejemplo 1.

            Sea  

Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene

                      

Propiedad 2.

El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A.

 Esto es

                                                 

Ejemplo 2.

                      Sea       

La transpuesta de A  es          

Propiedad 3.

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo 3.

Sea            con      

Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda

           con     

Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.

Propiedad 4.

Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas) iguales  entonces   det A = 0.

Ejemplo 4.

Sea           entonces  

Propiedad 5.

Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz  A  se multiplica por un escalar  r  el determinante de  la matriz  resultante es  r  veces el determinante de  A,   r det A.

Ejemplo 5.

Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  

Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente

                                                

cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es     

       

Propiedad 6.

Si un renglón de la matriz  A  se multiplica por un escalar  r   y se suma a otro renglón  de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual  al determinante de A,  det A.   Lo mismo se cumple para las columnas de A.

Ejemplo 6.

Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  

Multiplicando la segunda columna de A por el escalar  2  y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente

  

                      

Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene

        

Propiedad 7.

Si  A  y  B  son matrices de , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.

Esto es

                                              

Ejemplo 7.

Sean           y           

con       y      

 El producto      

Y su determinante  es     

Entonces     .

Propiedad 8.

El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)

Ejemplo 8.

I =                   det I = (1)(1) – (0)(0) = 1

Propiedad  9.

El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)

Ejemplo 9.

J =           |J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0

Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.

Expansión por cofactores

Muestra como se debe hacer paso a paso el problema para tener el resultado bien .

Definición de una Determinante

Forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Determinante

Paso a Paso el proceso de resolver el ejemplo  de una matriz .

Matriz inversa

Dada una matriz cuadrada  A,  si existe otra matriz  B  del mismo orden que verifique:  A . B = B . A = I  (  I = matriz identidad ), se dice que  B  es la matriz inversa de  A  y  se representa por  A^-1.

Si existe la matriz inversa  de  A, se dice que la matriz  A  es invencible o regular. En caso contrario, se dice que la matriz  A  es singular.

Propiedades de las operaciones con matrices

Propiedades de la suma de matrices

Interna
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión mxn.

Asociativa

A+(B+C)=(A+B)+C

Elemento neutro

A+0=A

donde 0 es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto 

A+A(-A)=O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiando de signo 

Conmutativa

A+B=B+A

Operaciones con matrices

Suma de matrices

Dadas dos matrices del mismo orden A y B, se llama matriz suma a la matriz que se obtiene de sumar los elementos correspondientes de A y B. Es decir el primer elemento de A con el primer elemento de B, el segundo de A con el segundo de By así sucesivamente.

Es sencillo, pero si aún no lo entendiste fíjate en el ejemplo donde he marcado un elemento en cada matriz para que sea más evidente el procedimiento.

 

La matriz suma es del mismo orden que el de las matrices que se suman, por lo tanto estas dos deben ser del mismo orden.

Multiplicación de una matriz por un número real cualquiera.

Si tenemos una matriz A y un número real cualquiera que llamaremos k, el producto de k. A es una matriz, del mismo orden que A, que se obtiene de multiplicar cada elemento de A por k.

Viste que es fácil, pero igual aquí va un ejemplo, por las dudas, je je je.

 

Matriz opuesta

Si multiplicamos una matriz A por (-1), se obtiene la matriz -A, que es la matriz opuesta a la dada.

 

Como te habrás dado cuenta, no hay necesidad de hacer tanto esfuerzo, ya que el resultado es la misma matriz, pero con todos los signos cambiados.

 

Por lo tanto lo único que hay que hacer es cambiarle los signos y listo.

Resta de matrices

La resta de dos matrices A y B, es decir (A - B), es igual a la suma de A más el opuesto de B. Por lo tanto podemos hacer: A - B = A + (- B).

En la práctica lo que se hace es cambiarle los signos a todos los elementos de la "segunda" matriz y se suma.

 

Por último, digamos que si se suma una matriz cualquiera con su opuesta, se obtiene la matriz nula.

 

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Si quiere puedes practicar un poco con el programita que te dejo aquí abajo, el botón:  Generar  crea matrices al azar, puedes elegir entre suma o resta, resuelve y llena las casillas de resultados y luego con el botón   Verificar   comprueba si tu resultado es correcto.