Bibliografia

http://whttp://www.macdaily.co/finder/?rt=Integral+de+una+suma
ww.math2me.com/playlist/calculo-integral/integral-de-la-suma-o-resta-de-funciones
http://filter.bravetraffic.com/filterq=Matem%EF%BF%BDticas+II&i=RiNOpGlsgjg_0&t=1189918155
http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/cramer.html
"Libro :Matemáticas para adimintradores "
https://www.youtube.com/watch?v=91xUg1L7O7s

Aplicaciones : Sistema de ecuaciones lineales y matrices

Continuación se mostrara como debe de resolverse usando los diferentes tipos de matrices y como te pueden ayudar  y la verdad si me sirvió de mucho .

Regla de cramer

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:

•  El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas
• El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer

.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes

.

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

:

Δ₁, Δ₂ , Δ₃, ... , Δ_n son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente

.

...

Propiedades de los determinantes

Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.

En los párrafos siguientes consideramos que  A  es una matriz cuadrada.

Propiedad 1.

Si una matriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.

Ejemplo 1.

            Sea  

Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene

                      

Propiedad 2.

El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A.

 Esto es

                                                 

Ejemplo 2.

                      Sea       

La transpuesta de A  es          

Propiedad 3.

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo 3.

Sea            con      

Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda

           con     

Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.

Propiedad 4.

Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas) iguales  entonces   det A = 0.

Ejemplo 4.

Sea           entonces  

Propiedad 5.

Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz  A  se multiplica por un escalar  r  el determinante de  la matriz  resultante es  r  veces el determinante de  A,   r det A.

Ejemplo 5.

Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  

Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente

                                                

cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es     

       

Propiedad 6.

Si un renglón de la matriz  A  se multiplica por un escalar  r   y se suma a otro renglón  de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual  al determinante de A,  det A.   Lo mismo se cumple para las columnas de A.

Ejemplo 6.

Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  

Multiplicando la segunda columna de A por el escalar  2  y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente

  

                      

Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene

        

Propiedad 7.

Si  A  y  B  son matrices de , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.

Esto es

                                              

Ejemplo 7.

Sean           y           

con       y      

 El producto      

Y su determinante  es     

Entonces     .

Propiedad 8.

El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)

Ejemplo 8.

I =                   det I = (1)(1) – (0)(0) = 1

Propiedad  9.

El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)

Ejemplo 9.

J =           |J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0

Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.

Expansión por cofactores

Muestra como se debe hacer paso a paso el problema para tener el resultado bien .

Definición de una Determinante

Forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Determinante

Paso a Paso el proceso de resolver el ejemplo  de una matriz .